如图所示，将一根不易伸长而且质量可忽略的细线上端固定，下端系一体积很小的金属小球绳长远大于小球的直径，将

  小球自平衡位置拉至一边（摆角小于 5°），然后释放，小球即 θ mg cosθ

  设摆点 O 为极点，通过 O 且与地面垂直的直线为极轴，逆时针方向为角位移的正方向。由于作用于小球的重力和绳子张力的合力必沿着轨道的切线方f mgsin

  利用上式测得重力加速度 g，可采取两种方法：第一，选取某给定的摆长 L，利用多次测 lT量对应的振动周期 i T，算出平均值，然后求出 i

  ④写出结果表示。2、、绘 制单摆 周期与摆长 的关系曲线 个不同的摆长，测出与其对应的周期。

  ②作出 T-L 图线，由图的斜率求出重力加速度 g。3、、观测 周期与摆 角的关系

  1．调节立柱，使它沿着铅直方向，衡量标准是单摆悬线、反射镜上的竖直刻线及单摆悬线．为使标尺的角度值能真正表示单摆的摆角，移动标尺，使其中心与单摆悬点间的距离 y 满足下式 AB y 180

  AB 式中为标尺的角度数，可取，而是标尺上与此 5°相对应的弧长，可用米尺量度。

  2．用于使摆球离开平衡位置（﹤5°），然后令它在一个圆弧上摆动，待摆动稳定后，测出连续摆动 50 次的时间 t，重复 4 次。

  绘制周期与摆长的关系曲线 个摆长，并测出与它们对应的周期，作出图线。若图线为直线，文档 则求出其斜率和重力加速度。

  单摆法测重力加速度是一种较为精确又简便的测量重力加速度方法。本实验采用较精密的数字毫秒仪计时减小了周期测量误差。实验误差由要来源于①摆长的测量误差，但由于摆长较长，用钢卷尺测量产生的相对误差也较小，所以用钢卷尺也能达到较高的准确度；②系统误差：未能严格满足单摆模型造成的误差，如未严格在竖直平面摆动。

  要提高本实验的准确度可从以下方面着手：尽可能满足理想单摆条件,如增大摆长；测时间

  由以上两种方法可看出，用计算法求得重力加速度比较接近标准值，且其标准偏差为 0.02,2

  说明测量比较准确。而用作图法求重力加速度时，求得的 g 为 10.72(m/s)，误差较大，可见在描点绘图的过程中又增在了误差。

  通过这次实验学习了简单设计性实验的基本方法，应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，分析基本误差的来源及进行修正的方法。但是实验测得数据的误差较大，计算所得的重力加速度与实际相差较大，所以对测量的掌握不够，应熟悉测量方法和技巧，同时明白到物理是一门严谨的科学，尤其对于物理实验，稍有不慎将产生巨大错误，因此我们该以严谨的态度对待物理实验，并在实验中感受物理实验的乐趣，掌握物理实验方法。

  一、实验目的利用经典的单摆公式、给出的器材和对重力加速度 g 的测量精度的要求，进行简单的设计性实验基本方法的训练，学会应用误差均分原理选用适当的仪器和测量方法，学习积累放的原理及应用，分析误差的来源，提出进行修正和估算的方法。

  游标卡尺、米尺、千分尺、电子秒表、支架、细线、钢球、摆幅测量标尺、天平。摆长 l≈70.00cm，摆球直径 D≈2.00cm，摆动周期 T≈1.700s，米尺精度，卡尺精度，千分尺精度，秒表精度。人开、停秒表总反应时间。

  在本实验中，实验精度△g／g＜1%，故摆球的几何形状、摆的质量、空气浮力、摆角等因素对测量造成的修正项均是高阶小量，可忽略。那么近似的周期测量公式为，故可通过误差均分原理，在一定的测量范围内测量 T、L，从而求得重力加速度 g。

  由于，即，将 T≈1.700s 代入，知一次测量若需达到一定的要求的精度，需测量 个周期的时间。

  2、多次测量摆长并记录数据； 3、将摆球拉离平衡位置，角度小于 5 度，使其在同一水平面摆动 4、多次用电子秒表测量单摆 50 次全振动所需要的时间； 5、整理仪器； 6、数据处理和误差分析。计算涉及相关公式：

  1)直接测量量的不确定公式2)直接测量量不确定合成公式，3)不确定传递公式

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 2 位小数点)，得 10 分

  实际测量偏差在-10% ~ 10% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 2 位小数点)，得 8 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 2 位有效值)，得 5 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“余位进一”取值方式，保留 2 位有效值)，得 5 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 4 位有效值)，得 10 分

  实际测量偏差在-10% ~ 10% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 4 位有效值)，得 8 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 2 位有效值)，得 5 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 2 位有效值)，得 5 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“余位进一”取值方式，保留 2 位有效值)，得 5 分

  ☆(10 分)根据 单摆 周期公式 计度 算重力加速度 g(单 单 位：)=9.77

  实际测量偏差在-1% ~ 1% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 4 位有效值)，得 10 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“余位进一”取值方式，保留 2 位有效值)，得 10 分

  实际测量偏差在-10% ~ 10% 之间，有效数字正确(按照“余位进一”取值方式，保留 2 位有效值)，得 8 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“余位进一”取值方式，保留 2 位有效值)，得 5 分

  实际测量偏差在-5% ~ 5% 之间，有效数字正确(按照“四舍五入”取值方式，保留 2 位有效值)，得 5 分

  ☆(5 分)率 故取概率 p=0.997 时, 重力加度 速度 g 的最 终测 量 结 果的表达式为 为(单 单 位：)：

  本题得分：0)1.实验中为了较小测量的误差，操作中的需要注意的几点有哪些？ 学生答案 ：(1)摆动摆球时，要注意摆动是平面的，而不是锥形的。

  (2)单摆摆线)为了减小测量周期的误差，应选择摆球经过最低点的位置开始计时。

  (2)单摆摆线)为了减小测量周期的误差，应选择摆球经过最低点的位置开始计时。

  1．知识与技能：(1)理解单摆模型的特点；(2)掌握单摆的运动特征和规律 2．过程与方法(1)单摆物理模型的构建过程，“简化”和“相对”(2)单摆的运动规律的探究过程 3．情感态度价值观

  生活中经常可以看见一些物体在竖直平面里的摆动，比如天花板上的吊灯在风吹后的摆动，公园离得秋千在人推动下的摆动，以及起重机下物体的晃动。。这些看似复杂的物体否认摆动究竟有什么共同的特点，是否有规律可循呢？

  （1）构建模型----单摆(教师拿出实验室中的单摆展示)在我们实验室中也有这样一个摆，但是它是不是比我们刚才所看到的摆要简单呢？

  物理学在研究一些物体的运动时，通常会将问题简化，抓住主要特征，忽略次要因素，根据这个思想我们就可以将刚才所举的例子中的物体简化为一根绳加一个小球，在物理学中，我们把这个模型叫做单摆，也就是我们实验室的这套装置。这样，我们就能够最终靠对单摆模型的研究来获悉这些物体的运动规律了（2）单摆模型的结构特征

  (教师拿出实验室中的单摆展示)，我们说，研究一个物体首先要从他的结结构入手，你们可以仔仔细细地观察一下这个模型，它的结构有什什么特点呢？

  （教师提问，学生回答，引导学生）绳相对于单摆的直径很长，小球的体积小，密度大（向学生强调“相对”的思想）（3）单摆运动特征的探究

  我们刚才了解了单摆模型的结构特征，那么当这个单摆运动起来之后会怎样呢？（老师演示单摆的摆动）提问它的运动轨迹是怎样的。

  教师总结：单摆轨迹是圆弧，也就是说他是圆周运动的一部分，小球在一个位置附近摆来摆去，符合机械振动的运动特征，因此我们大家可以首先判断单摆做的是圆周运动和机械振动。2，通过受力分析来探究单摆的运动特点

  单靠观察是远远不足用的，我们说过物体的运动都是由力决定的，因此我们有必要对单摆的受力做多元化的分析,我们以小球为研究对象，选取它偏离平衡位置的一个时刻，此时摆球受重力G，拉力T作用，现在我们要对力进行分解: 由于摆球沿圆弧运动，它必定会有一个分力提供向心力，因此我们沿绳向○分解，此外，我们通过观察知道单摆做机械振动必然有一个恢复力，因此我们还需要向平衡位置方向分解。

  (然后老师引导学生继续做受力分析)得出Ｇ1＝Ｇsinθ＝mgsinθ； Ｇ2＝Gcosθ＝mgcosθ，正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mgsinθ提供了摆球摆动的回复力，在摆角很小时，sinθ＝θ 又回复力Ｆ＝mgsinθ Ｆ＝mg·（ｘ表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长）

  在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反，大小成正比，单摆做简谐运动.我们规定这个临界角为5°。

  在课堂的开始，我们对生活中的一些物体的运动进行了观察，为了探寻他们的规律，我们将其简化，得出了一个物理模型单摆，通过对单摆运动规律的探究，我们大家都知道了单摆在摆角很小的时候在做简谐运动。这样的一个过程概括起来就是观察生活中的物理现象到抽象建模，再到物理模型研究最后得出结论，这个其实就是物理学科中研究物体运动的一般方法，在今后的物理学习中大家还会遇到。

  (1)理解单摆振动的特点及它做简谐运动的条件；(2)掌握单摆振动的周期公式。

  3．在做演示实验之前，可先提出疑问，引起学生对实验的兴趣，让学生先猜想实验结果，由教师实验验证，使学生能更好的有目的去观察实验。

  1．本课重点在于掌握好单摆的周期公式及其成立条件。2．本课难点在于单摆回复力的分析。

  解决方案：对于重点内容通过课堂巩固练习加深印象。本课难点在于力的分析上，由教师画好受力分析图，用彩粉笔标示，同时引导学生看书，这部分内容属于A类要求及了解内容，只要使大部分学生能明白基本过程即可，重在强调最后结论。

  三个单摆：两个摆长相同，质量不同；两个摆长不同。2．投影仪，投影片。(内容见附录)

  答：物体做机械振动，受到的回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。前节课我们学习了弹簧振子，了解了简谐运动和振动周期。日常生活中，我们常常见到钟表店里摆钟摆锤的振动(教师展示摆钟钟摆的振动)，这种振动有什么特点呢？它是根据什么原理制成的？钟摆类似于物理上的一种理想模型——单摆。我们就来分析一下单摆来解决以上的问题。

  (教师拿出单摆展示，同时介绍单摆构成)这就是单摆，一根绳子上端固定，下端系着一个球。物理上的单摆，是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。所以，实际的单摆要求绳子轻而长，小球要小而重，将摆球拉到某一高度由静止释放，单摆振动类似于钟摆振动。我们这一章研究的是机械振动，而单摆振动也属于机械振动，单摆振动也是在某一平衡位置附近来回振动，这个平衡位置，就是绳子处于竖直的位置。

  我们在学习机械振动时，曾经提到过机械振动的两个必要条件，一是运动中物体所受阻力要足够小；二是物体离开平衡位置后，总是受到回复力的作用。对于第一个条件单摆是符合的，单摆绳要轻而长，球要小而重都是为减少阻力；第二个条件说到回复力。

  答：单摆的回复力由绳的拉力和重力的合力来提供。(教师对答案先不否定，通过对学生的提问，教师把受力图画在黑板上。)

  要分析单摆回复力，先从单摆受力入手。单摆从A位置释放，沿AOB圆弧在平衡点O附近来回运动，以任一位置C为例，此时摆球受重力G，拉力T作用，由于摆球沿圆弧运动，所以将重力分解成切线，悬线合力必然沿半径指向圆心，提供了向心力。那么另一重力分力G1不论是在O左侧还是右侧始终指向平衡位置，而且正是在G1作用下摆球才能回到平衡位置。(此处可以再复习衡位置与回复力的关系：平衡位置是回复力为零的位置。)因此G1就是摆球的回复力。回复力怎么表示？由单摆的回复力的表达式能否看出单摆的振动是简谐运动？书上已给出了具体的推导过程，其中用到了两个近似：(1)sinα≈α；(2)在小角度下AO直线与AO弧线近似相等。这两个近似成立的条件是摆角很小，α＜5°。(见附表，打印在投影片上。)由投影片我们可知α在5°之内，并且以弧度为角度单位，sinα≈α。

  满足简谐运动的条件，即物体在大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力作用下的振动，为简谐运动。所以，当α＜5°时，单摆振动是一种简谐运动。

  但这个回复力的得到并不是无条件的，一定是在摆角α＜5°时，单摆振动回复力才具有这个特征。这也就是单摆振动是简谐运动的条件。

  前面我们所学简谐运动是以弹簧振子系统为例，单摆振动和弹簧振子不同，从回复力上说，虽然都具有同一特征，却由不同的力来提供。弹簧振子回复力由合力提供，而单摆则是由重力的一个分力来提供回复力。这是回复力不同，那么别的方面，还有没有不同呢？我们在学习弹簧振子做简谐运动时，还提到过弹簧振子系统周期与振幅无关，那么单摆的周期和振幅有没关系呢？下面我们做个实验来看一看。

  要研究周期和振幅有没关系，其他条件就应不变。这里有两个单摆(展示单摆)，摆长相同，摆球质量不同，这会不会影响实验结果呢？也就是单摆的周期和摆球的质量有没有关？那么就先来看一下质量不同，摆长和振幅相同，单摆振动周期是不是相同。

  那么就可以用这两个单摆去研究周期和振幅的关系了，在做之前还要明确一点，振幅是不是可任意取？这个实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角别超过5°。

  [演示2] 摆角小于 5°的情况下，把两个摆球从不同高度释放。现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期和振幅无关。

  刚才做过的两个演示实验，证实了单摆振动周期和摆球质量、振幅无关，那么周期和什么有关？由前所说这两个摆摆长相等，如果L不等，改变了这个条件会不可能影响周期？

  [演示3] 取摆长不同，两个摆球从某一高度同时释放，注意要α＜5°。现象：两摆振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。这说明单摆振动和摆长有关。具体有啥关系呢？经过一系列的理论推导和证明得到：

  同时这个公式的提出，也是在单摆振动是简谐运动的前提下，即满足摆角α＜5°。

  还可以根据这个周期公式测某地的重力加速度，由公式可知只要能够测出单摆的摆长、周期，就能够获得单摆所在地的重力加速度。

  提问：由以上演示实验和周期公式，我们可知道周期与哪一些原因有关，与哪些因素无关？

  单摆周期的这种与振幅无关的性质，叫做等时性。单摆的等时性是由伽利略首先发现的。(此处可以讲一下伽利略发现单摆等时性的小故事。)钟摆的摆动就具有这种性质，摆钟也是根据这个原理制成的，据说这种等时性最早是由伽利略从教堂的灯的摆动发现的。如果条件改变了，比如说(拿出摆钟展示)这个钟走得慢了，那么就要把摆长调整一下，应缩短L，使T减小；如果这个钟在北京走得好好的，带到广州去会怎么样？由于广州g，小于北京的g值，所以T变大，钟也会走慢；同样，把钟带到月球上钟也会变慢。

  4．课堂练习(见投影片)[题目]甲乙两个单摆，甲的摆长是乙摆长的4倍，乙摆球质量是甲球质量的2倍。在甲振动5次的时间内，乙摆球振动______次。

  分析：此题考查的是周期的影响因素。已知摆长和质量比例关系，但由周期公式和前面所做演示实验可知，周期与质量无关，甲的摆长是乙的摆长的4倍，那么甲的周期就是乙的周期的2倍，频率是1/2，所以甲振动5次，同时乙振动10次。

  式测某地的重力加速度，由公式可知只要测出单摆的摆长、周期，就可以得到单摆所在地的重力加速度。

  中学物理教学的目的，是使学生比较系统地掌握进一步学习现代科学技术所需的物理基础知识，了解这些知识的实际应用，培养学生的实验技能、思维能力、自学能力和灵活运用知识解决实际问题的能力；培养学生的辩证唯物主义观点。培养学生的创新意识和创新能力是现代教育研究的核心，本文介绍单摆课题中开展创新教学、培养学生创新能力的一点做法。

  该教学模式重视的是知识的传授，重点是知识的应用──解题，且通过解题来熟练掌握该知识和提高运用这些知识解决问题的能力，即熟练解题技巧。这种教学模式，缺乏知识的产生和发展的过程，学生实际参与少，体验不深，理论联系实际少，且介绍创造发明的往往一笔带过。本人认为这把物理学的精华部分给埋没了，使学生感到学习物理知识是为了解题，为了升学考试，从而使学生的学习处于被动状态，即学生对学习的内在动力不足，兴趣不浓，这是目前教学中存在的共同问题。大量解题，学习解题的各种技巧，造成知识面狭窄，自学能力差，除课本上知识外，很少接触其他课外书，不重视实验，观察能力和实验操作能力差。

  此教学模式让学生充分感受、理解知识的产生和发展过程，引导、启发学生模拟探究原科学家的实践活动过程，发现“新”现象，通过联想、判断、推理、分析、综合，归纳出物体呈现如此现象的本质和规律，然后把规律应用到实际中去。力求体现物理学研究的基本方法，重点展现发现规律的过程和应用规律的过程，即展现发现、发明创造的过程，从中培养学生创新意识和创新能力，使学生感到所学知识确有实际意义，从内心感到确需知道该知识和方法，从而积极参与、主动学习、自主探索。同时体现教师适时点拨、“搭桥引路”的主导地位。当然在教学过程中要精选习题、当堂达标训练，切实提高课堂教学效率。

  （物体来回摆动）入手，通过联想、判断使学生感到我们所研究的物理现象来源于自然，不是凭空想象出来的。

  把观察到的物理现象进行抽象，建立理想模型，使研究的物理问题简单化。在细线的一端拴上一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量忽略不计，球的直径比线长短得多，即把球看成一个质点──单摆模型。

  （1）单摆呈现来回摆动现象的本质：让学生想想，师生一起分析摆球受到重力和细线的拉力不在一条直线上，即受力不平衡的缘故。重力沿细线垂直方向的分力，即是使摆球回到最低点的回复力，注意这个力不是重力和细线拉力的合力。在摆角小于5°时，摆球运动可看做简谐运动。摆球在空间摆动观察时如无显著的参照物作为标准，很可能造成圆锥摆。可采用上端带有支架（支架垂直与面板，并且po在一条直线上垂直与面板）的面板。如图（1）。人是很难做到不同摆角和同一摆角。易造成摆角过大而引起非简谐运动，或摆角太小不易测量周期。现在面板上做一以p为圆心的半圆，并标出刻度。实验时就可以根据面板上的刻度读出摆角值，从而准确的验证影响周期的因素。

  模拟科学家研究过程，但不完全照搬，也要有所创新。从中激发学生的兴趣，重视学生的内心体验与主动参与。伽利略在教堂中看到挂灯的摆动，发现该现象，并研究得出单摆的等时性。根据历史记载，伽利略所处年代还没有精确的计时仪器，他如何确定的？只好用自己的脉搏跳动测得，他利用人在正常情况下脉搏跳动是基本均匀的，这是一种类比方法。现在我们有计时仪器，可以照课本上实验来确定这一结论。一般人的脉搏跳动总有些不稳定，这样实验不够精确，那么我们现在如何设计一个简单而精确的实验来验证呢？让学生想一想，然后提示学生用比较法。

  用2个单摆比较，可能有学生提出；也许是巧合呢？那么用5个单摆，其中2个摆球形状、质量完全一样，其余3个各不相同（这样容易比较）。用5根约1m长的细线一端拴住摆球，另一端各悬挂在同一水平横杆上（并排）如图2，使摆长一样（这是实验成败的关键）。想想如何比较摆球的周期相同不相同？

  5°），让摆球摆动，可以看到摆得较乱，看不出关系。设法拉开摆球，从同一高度同时静止释放，可观察到同步摆动。这说明单摆的周期跟单摆的摆球质量无关。再设法把小球拉开不同角度，同时静止时释放，可观察到：同步摆动（注意沿着横杆方向看）。这说明单摆的周期跟单摆的振幅无关，由此得到单摆的等时性（使学生感到成就感）。那么单摆的周期跟什么因素相关呢？（让学生想想，猜想可能是摆长），改变其中4个单摆的摆长，使它们摆长不一样，再让它们同时摆动，可观察到；摆长长的，摆动慢，摆长短的，摆动快。

  课本中并没有通过实验验证重力加速度与周期的关系。若采用磁性摆球，并在摆球的平衡位置正下方放一U型的磁铁，相当于增大重力加速度。比较和未加磁铁时同一摆球50～60次全振动所需时间就验证了重力加速度增大时周期变短，改变磁铁磁极，相当于减小重力加速度，周期变长。说明重力加速度的改变可以影响周期的变化。然后提出，这由惠更斯研究发现单摆的振动周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，且确定了如下的单摆振动周期公式（也可用数学方法和弹簧振子的周期公式推导出这一公式，应看学生的基础、程度而定。）

  然而是不是要淘汰摆钟呢？不，有人把这做得大一些，做成一种落地座钟，成为一件装饰品，又是一种计时器，这也是一种创造发明。

  联想运用单摆的周期公式，可以测定当地的重力加速度，又可拿到某一星球表面上，测该星球表面的重力加速度：

  等效应用：把一个物体的来回运动等效看成单摆的运动。例如，一个小球在较大半径的光滑圆弧槽内来回运动（槽固定在地面上），可以等效看成绕圆心来回摆动的单摆运动。又如，双线摆可等效看成某一摆长的单摆运动，在升降机中单摆周期的变化，等等。应用中不仅使学生解题能力得到提高，而且使学生的创新能力和综合能力得到培养，使学生在获得知识同时，多方面的能力也得到培养，但应用中应减少一些纯粹为熟练公式或无实际价值的问题。

  本节课设计的指导思想是培育学生各方面的素质，教学中以实验为基础结合学生的思维特点。充分发挥教师的主导作用，体现学生的主体地位，让学生成为知识的发现者，以规律的认识为主线，把传授知识、培养能力、渗透方法有机结合到一起。目的在于培育学生各方面的能力。2009-02-25 人教网

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